Хай задано дві безліч E і F.

Зовнішньою бінарною операцією на безлічі E називається відображення .

Безліч E, що володіє внутрішньою бінарною операцією, називається групою, якщо:

1) операція асоціативна: ;
2) є нейтральний елемент: таке, що справедливе рівність ;
3) всякий елемент має симетричний: таке, що .
Якщо, крім того
4) операція комутативна, то група називається комутативною або абельовой.

Якщо операція є складання, то група називається аддитивною, якщо є множення, то група називається мультиплікативною.

2. Аксіоми поля дійсних чисел

Безліч R = {а, b, з ...} називається полем дійсних (речовинних) чисел, якщо для його елементів встановлені бінарні відносини і бінарні операції, підлеглі перерахованим нижче аксіомам.

С.2. У R існує елемент, званий нулем і що позначається символом 0, такий, що

а + 0 = а.

C.3. існує таке число, що виконується рівність

а + (-a) = 0.

C.4.

а + b = b + а.

Таким чином, безліч R є аддитивною абельовой групою.

Аксіоми множення

У.0. У безлічі R визначена внутрішня бінарна операція - множення

яка кожній парі елементів однозначно ставить у відповідність деякий елемент безлічі R, званий їх твором і що позначається символом . При цьому виконуються наступні аксіоми:

У.1. (асоціативний закон).

У.2. У R існує елемент, званий одиницею і що позначається символом 1, такий, що справедливе рівність

У.3. існує елемент, званий зворотним числу а, такий, що

У.4. .

Отже, безліч ненульових елементів безлічі R є мультиплікативною абельовой групою.